题目内容

已知离心率为
3
2
的椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的点到左焦点F的最长距离为
3
+2．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”，求椭圆的“左特征点”M的坐标．
分析：（1）利用椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)离心率为
3
2
，其上的点到左焦点F的最长距离为
3
+2，可建立方程组，即可求得椭圆的方程；
（2）设M（m，0）为椭圆的左特征点，根据椭圆左焦点，设直线AB方程代入椭圆方程，由∠AMB被x轴平分，kAM+kBM=0，利用韦达定理，即可求得结论．
解答：解：（1）由题意知
a+c=
3
+2
c
a
=
3
2
，∴a=2，c=
3
，∴b=
a2-c2
=1
∴椭圆的方程为
x2
4
+y2 =1；
（2）设M（m，0）为椭圆
x2
4
+y2 =1的左特征点，椭圆的左焦点F（-
3
，0），
可设直线AB的方程为x=ky-
3
（k≠0）
代入
x2
4
+y2 =1，得：（ky-
3
）y2+4y2=4，即（k2+4）y2-2
3
ky-1=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）得y1+y2=
2
3
k
k2+4
，y1y2=-
1
k2+4

∵∠AMB被x轴平分，kAM+kBM=0，即
y1
x1-m
+
y2
x2-m
=0，
即y1（ky2-
3
）+y2（ky1-
3
）-（y1+y2）m=0
所以，2ky1y2-（y1+y2）（m+
3
）=0
于是，2k×（-
1
k2+4
）-
2
3
k
k2+4
×（m+
3
）=0
∵k≠0，∴1+
3
（m+
3
）=0，即m=-
4
3
3
，∴M（-
4
3
3
，0）
点评：本题以新定义为载体主要考查了椭圆性质的应用，直线与椭圆相交关系的处理，要注意解题中直线AB得方程设为x=ky-2（k≠0）的好处在于避免讨论直线的斜率是否存在．
练习册系列答案
相关题目
（2013•怀化三模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点(
3
，
3
2
)，离心率e=
1
2
，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N(
x0
a
，
y0
b
)称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．
如图，F1，F2为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e=
3
2
，S△DEF2=1-
3
2
．若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（
x0
a
，
y0
b
）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）△AOB的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．
（2013•怀化二模）如图展示了一个由区间（0，k）（其中k为一正实数）到实数集R上的映射过程：区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1；将线段AB围成一个离心率为
3
2
的椭圆，使两端点A、B恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在x轴上，已知此时点A的坐标为（0，1），如图3，在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度．图3中直线AM与直线y=-2交于点N（n，-2），则与实数m对应的实数就是n，记作f（m）=n，

现给出下列5个命题①f(
k
2
)=6；②函数f（m）是奇函数；③函数f（m）在（0，k）上单调递增；④函数f（m）的图象关于点(
k
2
，0)对称；⑤函数f(m)=3
3
时AM过椭圆的右焦点．其中所有的真命题是（　　）
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点(
3
，
3
2
)，离心率e=
1
2
，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N(
x0
a
，
y0
b
)称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．

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