Question

设a，b，m为正整数，若a和b除以m的余数相同，则称a和b对m同余． 记作a=b（modm），已知a=

C

1 2009

32+

C

2 2009

34+…+

C

2009 2009

34018，b=a（mod10），则b的值可以是（　　）

A．1012

B．2009

C．3003

D．6001

Answer 1

分析：观察题中式子：a=C₂₀₁₀¹3²+C₂₀₁₀²3⁴+…+C₂₀₁₀²⁰¹⁰3⁴⁰²⁰，先由二项式定理得：1+C₂₀₁₀¹3²+C₂₀₁₀²3⁴+…+C₂₀₁₀²⁰¹⁰3⁴⁰²⁰=（1+9）²⁰¹⁰，得到C₂₀₁₀¹3²+C₂₀₁₀²3⁴+…+C₂₀₁₀²⁰¹⁰3⁴⁰²⁰=（1+9）²⁰¹⁰-1，即C₂₀₁₀¹3²+C₂₀₁₀²3⁴+…+C₂₀₁₀²⁰¹⁰3⁴⁰²⁰9（mod10），而2009≡9（mod10），从而得出b的值．

解答：解：由二项式定理得：∵1+C₂₀₁₀¹3²+C₂₀₁₀²3⁴+…+C₂₀₁₀²⁰¹⁰3⁴⁰²⁰=（1+9）²⁰¹⁰，
∴C₂₀₁₀¹3²+C₂₀₁₀²3⁴+…+C₂₀₁₀²⁰¹⁰3⁴⁰²⁰=（1+9）²⁰¹⁰-1，
即C₂₀₁₀¹3²+C₂₀₁₀²3⁴+…+C₂₀₁₀²⁰¹⁰3⁴⁰²⁰除以10的余数为：9．
而2009≡9（mod10），则b的值可以是2009，
故选B．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果，属于中档题．