Question

函数f（x）=ax+ln（2-x）（x＜2），设曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线为l．
（1）若直线l与圆（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）先求切线l：y-a=（2a-2）（x-1）．即l：（2a-2）x-y+（2-a）=0，再根据直线l与圆（x+1）²+y²=1相切有

|4-3a|

(2a-2)2+1

=1．从而可求a的值；
（2）分类讨论，令导数小于0，得函数y=f（x）的单调减区间，令导数大于0，得函数y=f（x）的单调增区间．

解答：解：（1）f（x）=ax²+2㏑（2-x）．f（1）=a．故点（1，f（1））=（1，a）．
求导得：f′（x）=2ax-

2

2-x

，故f′（1）=2a-2．
故切线l：y-a=（2a-2）（x-1）．即l：（2a-2）x-y+（2-a）=0．
又由题设知，直线l到（-1，0）的距离为1
即有

|4-3a|

(2a-2)2+1

=1．解得：a=1或a=

11

5

；
（2）f′（x）=2ax-

2

2-x

=2×

ax2-2ax+1

x-2

，
当a＜0 时，由导数小于0得，因为分子二次项的系数为负，
所以可得函数的单调增区间为(-∞，a-

a2-1

)，(a+

a2-1

，2)；
由导数大于0得减区间(a-

a2-1

，a+

a2-1

)，(2，+∞)
当0≤a≤1时，当x＜2时，f′（x）＜0恒成立，所以函数的单调减区间为 （-∞，2）
当

5

4

＞a＞1时，由导数小于0得，函数的单调减区间为(-∞，a-

a2-1

)，(a+

a2-1

，2)；
由导数大于0得增区间(a-

a2-1

，a+

a2-1

)，(2，+∞)
当a≥

5

4

时，由导数小于0得，函数的单调减区间为(-∞，a-

a2-1

)，(2，a+

a2-1

)；
由导数大于0得增区间(a-

a2-1

，2)，(a+

a2-1

+∞)

点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查直线与圆相切，考查函数的单调区间．