Question

已知抛物线y²=4x，过点P（4，0）的直线与抛物线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，则y₁²+y₂²的最小值是

 

．

Answer 1

分析：先根据点P设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁x₂=16，进而根据均值不等式y₁²+y₂²=4（x₁+x₂）≥8

x1x2

求得答案．

解答：解：设直线方程为y=k（x-4），与抛物线方程联立消去y得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0
∴x₁x₂=16
显然x₁，x₂＞0，又y₁²+y₂²=4（x₁+x₂）≥8

x1x2

=32，
当且仅当x₁=x₂=4时取等号，
故答案为32

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．