Question

设函数y=f（x）的定义域为R，并且满足f（x-y）=f（x）-f（y），且f（2）=1，当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）如果f（x）+f（x+2）＜2，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法，求f（0）的值；
（2）利用函数奇偶性的定义，判断函数f（x）的奇偶性；
（3）利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，即可求解．

解答：解：（1）．令x=y，则f（0）=f（x）-f（x），
∴f（0）=0
（2）．令x=0，则f（-y）=f（0）-f（y），
∵f（0）=0，∴f（-y）=-f（y），
∴f（-x）=-f（x），
即f（x）在R上是奇函数．
（3）．令x=4，y=2，得f（4-2）=f（4）-f（2），即f（4）=2f（2）=2，
由f（x）+f（x+2）＜2，得f（x）＜f（4）-f（x+2），
∴f（x）＜f（4-x-2），即f（x）＜f（2-x），
下判断函数的单调单调性．
设x₁＜x₂，且x₂=x₁+t，t＞0，
由f（x-y）=f（x）-f（y），得
f（x₁）=f（x₂-t）=f（x₂）-f（t），
∵t＞0，∴f（t）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=-f（t）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是增函数，
∴由f（x）＜f（2-x），得x＜2-x，
解得x＜1．
∴x的取值范围是（-∞，1）．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数常见的方法．本题综合性较强．