题目内容

已知离心率为
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点M（
6
，1），O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若直线l是圆O：x2+y2=
8
3
的一条切线，试证明∠AOB=
π
2
．它的逆命题成立吗？若成立，请给出证明；否则，请说明理由．
分析：（1）因为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点M（
6
，1），且离心率为
2
2
，所以
c
a
=
2
2
a2=b2+c2
6
a2
+
1
b2
=1
，曲此能得到椭圆C的方程．
（2）若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=kx+m，直线l与椭圆C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），由直线l与圆O相切得r=
|m|
1+k2
，联立方程组
y=kx+m
x2
8
+
y2
4
=1
，得x2+2（kx+m）2=8，再由根与系数的关系和根的判别能够推导出∠AOB=
π
2
．逆命题：已知直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若∠AOB=
π
2
，则直线l是圆O：x2+y2=
8
3
的一条切线．结论成立．再进行证明．
解答：解：（1）因为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
（a＞b＞0）过点M（
6
，1），且离心率为
2
2
，
所以
c
a
=
2
2
a2=b2+c2
6
a2
+
1
b2
=1
，
解得
a2=8
b2=4
c2=4
，
故椭圆C的方程为
x2
8
+
y2
4
=1．
（2）若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=kx+m，直线l与椭圆C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），
由直线l与圆O相切得r=
|m|
1+k2
，即r2=
m2
1+k2
=
8
3
．
联立方程组
y=kx+m
x2
8
+
y2
4
=1
，得x2+2（kx+m）2=8，
即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，
则△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）＞0，即8k2-m2+4＞0．由方程根与系数的关系得：
x1+x2=
4km
1+2k2
x1x2=
2m2-8
1+2k2
，
从而y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=
k2(2m2-8)
1+2k2
-
4k2m2
1+2k2
+m2=
m2-8k2
1+2k2
．
要证∠AOB=
π
2
，即
OA
⊥
OB
，只需证x1x2+y1y2=0，
即证
2m2-8
1+2k2
+
m2-8k2
1+2k2
=0，即证3m2-8k2-8=0，而
m2
1+k2
=
8
3
，
所以3m2-8k2-8=0成立．即∠AOB=
π
2
．
而当直线l的斜率不存在时，直线l为x=±
2
6
3
，
此时直线l与椭圆
x2
8
+
y2
4
=1的两个交点为（
2
6
3
，±
2
6
3
）或（-
2
6
3
，±
2
6
3
），
满足
OA
⊥
OB
．综上，有∠AOB=
π
2
．
逆命题：已知直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若∠AOB=
π
2
，则直线l是圆O：x2+y2=
8
3
的一条切线．结论成立．
证明：当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+m，直线l与椭圆C：
x2
8
+
y2
4
=1的两个交点为A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组
y=kx+m
x2
8
+
y2
4
=1
，
得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，
则△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）＞0，即8k2-m2+4＞0，由方程根与系数的关系得：
x1+x2=
4km
1+2k2
x1x2=
2m2-8
1+2k2
，
则y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=
k2(2m2-8)
1+2k2
-
4k2m2
1+2k2
+m2=
m2-8k2
1+2k2
．
由∠AOB=
π
2
知，
OA
⊥
OB
，
即x1x2+y1y2=0，即
2m2-8
1+2k2
+
m2-8k2
1+2k2
=0，
所以3m2-8k2-8=0．因为圆心到直线l的距离d=
|m|
1+k2
，
则d2=
m2
1+k2
=
m2
1+
3m2-8
8
=
8
3
，而r2=
8
3
，此时直线y=kx+m与圆O相切．
当直线l的斜率不存在时，由
OA
⊥
OB
可以计算得到直线l与椭圆
x2
8
+
y2
4
=1的两个交点为（
2
6
3
，±
2
6
3
）或
（-
2
6
3
，±
2
6
2
），
此时直线l为x=±
2
6
3
．满足圆心到直线的距离等于半径，即直线与圆相切．
综上，其逆命题成立．
点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
已知离心率为
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点M（
6
，1，O是坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点A、B为椭圆C上相异两点，且
OA
⊥
OB
，判定直线AB与圆O：x2+y2=
8
3
的位置关系，并证明你的结论．
已知离心率为
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)过点M(
6
，1)，O为坐标原点
（1）求椭圆方程
（2）已知直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，若直线l是圆O：x2+y2=
8
3
的一条切线，求证：∠AOB=
π
2
．
（2012•德阳三模）已知离心率为
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点M(
6
，1)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知与圆x2+y2=
8
3
相切的直线l与椭圆C相交于不同两点A、B，O为坐标原点，求
OA
•
OB
的值．
（2010•宿州三模）已知离心率为
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F，上顶点为E，直线EF截圆x2+y2=1所得弦长为
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过D（-2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，
AB
=2
AM
．试探究
|MD|
|MA|
的取值范围．

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