题目内容
已知离心率为
| ||
| 2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 6 |
（1）求椭圆方程
（2）已知直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，若直线l是圆O：x2+y2=
| 8 |
| 3 |
| π |
| 2 |
分析：（1）由离心率可得a2=2b2，故椭圆的方程为
+
=1，把点M的坐标代入可得b2的值，从而得到椭圆方程．
（2）当直线l的斜率不存在时，经检验可得三角形AOB为等腰直角三角形，∠AOB=
．当斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，由切线的性质可得3b2=8+8k2 ①，把直线l的方程代入椭圆的方程化简利用根与系数的关系，计算OA和OB的斜率之积等于-1，从而得到∠AOB=
．
| x2 |
| 2b2 |
| y2 |
| b2 |
（2）当直线l的斜率不存在时，经检验可得三角形AOB为等腰直角三角形，∠AOB=
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
解答：解：（1）由题意可得
=
，∴a2=2b2，故椭圆的方程为
+
=1，把点M的坐标代入可得b2=4，a2=8，故椭圆方程为
+
=1．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 x=
，代入椭圆的方程可得A（
，-
），
B（
，
），显然AOB为等腰直角三角形，∠AOB=
．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y=kx+b，由切线的性质可得
=
，3b2=8+8k2 ①，
把直线l的方程代入椭圆的方程化简可得 （1+2k2）x2+4kbx+2b2-8=0．
∴x1+x2=
，x1x2=
，故OA 和OB的斜率之积等于
•
=
=
，又由①得 8k2=3b2-8，
故OA 和OB的斜率之积等于
=-1，∴OA⊥OB，∴∠AOB=
．
| a2-b2 |
| a2 |
| 1 |
| 2 |
| x2 |
| 2b2 |
| y2 |
| b2 |
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 x=
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
B（
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| π |
| 2 |
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y=kx+b，由切线的性质可得
|
| |0-0+b| | ||
|
把直线l的方程代入椭圆的方程化简可得 （1+2k2）x2+4kbx+2b2-8=0．
∴x1+x2=
| -4kb |
| 1+2k2 |
| 2b2- 8 |
| 1+2k2 |
| kx1+ b |
| x1 |
| kx2+b |
| x2 |
| k2x1x2+ kb(x1+x2)+b2 |
| x1x2 |
| b2-8k2 |
| 2b2-8 |
故OA 和OB的斜率之积等于
| b2-(3b2-8) |
| 2b2-8 |
| π |
| 2 |
点评：本题考查求椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，
证明OA 和OB的斜率之积等于-1，是解题的难点和关键．
证明OA 和OB的斜率之积等于-1，是解题的难点和关键．
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