Question

图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）的示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CMD是半圆，凹槽的横截面的周长为4。已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为，设AB=2x，BC=y。

（1）写出y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围；
（2）当x取何值时，凹槽的强度最大？

Answer 1

解：（1）易知半圆CMD的半径为x，故半圆CMD的弧长为πx
所以2x+2y+πx=4
解得
依题意知0＜x＜y，
所以。
（2）设凹槽的强度为T，则有

因为
所以当时，凹槽的强度最大。