Question

（本小题满分12分）

图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为,设AB=2x,BC=y.

（1）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；

（2）求当x取何值时，凹槽的强度最大.

 

Answer 1

【答案】

（1）（）.（2）。

【解析】

试题分析：（1）易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为.

所以 ，得     ------------4分

依题意知：      得

所以，（）.         -----------6分

（2）依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有

                    ----------------------8分

.     ----------10分

因为,  所以，当时，凹槽的强度最大.

答: 当时，凹槽的强度最大.                 --------------12分

考点：函数的实际应用；函数的最值及几何意义。

点评：本题主要考查数学建模型和解模型的能力，主要涉及了平面图形的周长，面积及在实际问题中模型的意义．是应用题中的常见题型。