Question

（本题满分15分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为,设AB=2x,BC=y.

（Ⅰ）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；

（Ⅱ）求当x取何值时，凹槽的强度最大.

 

      

Answer 1

（Ⅰ）易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为. 所以  ，

得                                                       

         依题意知：       得所以，（）.

（Ⅱ）依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有

                                                      

      

.                     

因为,所以，当时，凹槽的强度最大.

答: 当时，凹槽的强度最大.