题目内容

(2004•宁波模拟)(理){an}是等差数列,公差d>0,Sn是{an}的前n项和.已知a2a3=40.S4=26.
(1)求数列{an}的通项公式an
(2)令bn=
1anan+1
,求数列{bn}前n项和Tn
分析:(1)由已知 已知a2a3=40及S4=26,求出a2=5,a3=8,从而公差d=3,根据an=a2+(n-2)d,求出数列{an}的
通项公式.
(2)对数列{bn}的通项公式进行裂项为bn=
1
3
(
1
3n-1
-
1
3n+2
)
,从而求出其前n项的和Tn=
1
3
[(
1
2
-
1
5
)+(
1
5
-
1
8
)+…+(
1
3n-1
-
1
3n+2
)]
,化简得到结果.
解答:解:(1)∵S4=
4
2
(a1+a4)=2(a2+a3)=26
,…(2分)
又∵a2a3=40,d>0,
∴a2=5,a3=8,d=3.…(4分)
∴an=a2+(n-2)d=3n-1.…(6分)
(2)∵bn=
1
anan+1
=
1
(3n-1)(3n+2)
=
1
3
(
1
3n-1
-
1
3n+2
)
,…(9分)
故有 Tn=
1
3
[(
1
2
-
1
5
)+(
1
5
-
1
8
)+…+(
1
3n-1
-
1
3n+2
)]
=
1
3
(
1
2
-
1
3n+2
)=
n
2(3n+2)
.…(12分)
点评:本题主要考查等差数列的定义和性质,等差数列的通项公式,用裂项法对数列进行求和,求出首项和公差d的值,
是解题的关键,属于中档题.
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