Question

已知圆C的圆心在直线y=x+1上，且过点A（1，3），与直线x+2y-7=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线l：ax-y-2=0（a＞0）与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设圆心C（a，b），由圆C的圆心在直线y=x+1上，且过点A（1，3），与直线x+2y-7=0相切，建立方程组求出圆心和半径，由此能求出圆C的方程．
（2）把直线y=ax-2代入圆的方程，得（a²+1）x²-6ax+4=0，由直线ax-y+5=0交圆于A，B两点，知5a²-4＞0，由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）设圆心C（a，b），
∵圆C的圆心在直线y=x+1上，且过点A（1，3），与直线x+2y-7=0相切，
∴

a+1=b (a-1)2+(b-3)2 = |a+2b-7| 5

，
解得a=0，b=1，
∴圆心C（0，1），圆半径r=|AC|=

(0-1)2+(1-3)2

=

5

，
∴圆C的方程为x²+（y-1）²=5．（8分）
（2）把直线ax-y-2=0，即y=ax-2代入圆的方程x²+（y-1）²=5，
消去y整理，得（a²+1）x²-6ax+4=0，
∵直线ax-y+5=0交圆于A，B两点，
∴△=36a²-16（a²+1）＞0．即5a²-4＞0，
由于a＞0，解得a＞

2 5

5

．
所以实数a的取值范围是（

2 5

5

，+∞）． （15分）

点评：本题考查圆的方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．