题目内容

已知数列{an}的前五项依次是0,-
1
3
,-
1
2
,-
3
5
,-
2
3
.正数数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=
1
2
(bn+
n
bn
)

(I)写出符合条件的数列{an}的一个通项公式;
(II)求Sn的表达式;
(III)在(I)、(II)的条件下,c1=2,当n≥2时,设cn=-
1
anSn2
,Tn是数列{cn}的前n项和,且Tn>logm(1-2m)恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(I)由数列的前5项的特点,总结归纳可得符合条件的数列{an}的一个通项公式.
(II)由Sn=bn+
n
bn
,求得b1=1,可得S1=1.当n≥2时,由bn=Sn-Sn-1,得2Sn=Sn-Sn-1+
n
Sn-Sn-1
,化简得Sn2-Sn-12=n.用累加法求得,Sn2=1+2+3+…+n=
n(n+1)
2
,从而求得Sn的表达式.
(III)先求得Tn的解析式,由Tn>logm(1-2m)恒成立,可得logm(1-2m)恒小于Tn的最小值,根据Tn的最小值在n=1时取得,且最小值为2.故有logm(1-2m)<2.
由此可得
0<m<1
1-2m>0
1-2m>m2
①,或
m>1
1-2m>0
1-2m<m2
②.分别求得①和②的解集,再取并集,即得所求.
解答:解:(I)由数列的前5项可得,符合条件的数列{an}的一个通项公式为 an=
1-n
1+n
(n∈N*)
.…(2分)
(II)因为Sn=
1
2
(bn+
n
bn
)
,即Sn=bn+
n
bn
,2bn>0,所以b1=
1
2
(b1+
1
b1
)
,解得b1=1,即S1=1.
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1,所以,2Sn=Sn-Sn-1+
n
Sn-Sn-1
,∴.Sn+Sn-1=
n
Sn-Sn-1
,即Sn2-Sn-12=n.…(5分)
所以,Sn-12-Sn-22=n-1Sn-22-Sn-32=n-2,…,S22-S12=2
累加可得 Sn2-S12=2+3+4+…+n
所以,Sn2=1+2+3+…+n=
n(n+1)
2
,即Sn=
n(n+1)
2
.…..(8分)
(III)在(I)、(II)的条件下,c1=2.
当n≥2时,cn=-
1
anSn2
=
2
n(n-1)
=2(
1
n-1
-
1
n
)

当n=1时,T1=c1=2;
当n≥2时,Tn=c1+c2+c3+…+cn=2[1+(
1
1
-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…(
1
n-1
-
1
n
)]=2(2-
1
n
)
 ….(10分)
因为Tn>logm(1-2m)恒成立,即logm(1-2m)恒小于Tn的最小值.
显然,Tn的最小值在n=1时取得,且最小值为2,故有logm(1-2m)<2.…..(12分)
所以
0<m<1
1-2m>0
1-2m>m2
①,或
m>1
1-2m>0
1-2m<m2
②.
解①得,0<m<
2
-1
,不等式组②无解.
故实数m的取值范围是(0,
2
-1)
….(14分)
点评:本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系,用累加法进行数列求和,函数的恒成立问题,体现了分类讨论的数学思想,属于难题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网