Question

（2013•浙江模拟）已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x²-bx（b为常数）．
（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与g（x）的图象相切，求实数b的值；
（2）设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围；
（3）若b＞1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和切线过原点写出切线方程，再和g（x）联立，利用根的判别求解即可．
（2）通过求h′（x），结合函数h（x）在定义域上存在单调减区间，转化为存在性问题求b的取值范围．
（3）要使得对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，即

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

＞

|g(x1)-g(x2)|

|x1-x2|

，利用导数的几何是切线的斜率，得到对于区间[1，2]上的任意实数x，|f′（x）|＞|g′（x）|，列出b的不等关系，从而得出b的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=lnx得f′（x）=

1

x

，
函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）=1，切线方程为：y-0=x-1即y=x-1．
由已知得它与g（x）的图象相切，将y=x-1代入得x-1=

1

2

x²-bx，即

1

2

x²-（b+1）x+1=0，
∴△=（b+1）²-2=0，解得b=±

2

-1，
即实数b的值为±

2

-1．
（2）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+

1

2

x²-bx，
∴h′（x）=

1

x

+x-b，
根据函数h（x）在定义域（0，+∞）上存在单调减区间，
∴存在x＞0，使得

1

x

+x-b＜0，即b＞

1

x

+x，
由于当x＞0时，

1

x

+x≥2，
∴b＞2．
∴实数b 的取值范围（2，+∞）．
（3）对于区间[1，2]上的任意实数x，f′（x）=

1

x

∈[

1

2

，1]．
g′（x）=x-b∈[1-b，2-b]，
要使得对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，
若用注意到f（x）是增函数，不妨设x₁＞x₂，则f（x₁）＞f（x₂），问题转化为|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|
等价于-f（x₁）+f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）＜f（x₁）-f（x₂）从而f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂）且f（x₁）+g（x₁）＞f（x₂）+g（x₂），
即f（x）-g（x）与f（x）+g（x）都是增函数，
利用导数的几何是切线的斜率，得到|f′（x）|＞|g′（x）|，
即

1

x

＞|b-x|，于是x-

1

x

≤b≤x+

1

x

即（x-

1

x

）_max≤b≤（x+

1

x

）_min
∴

3

2

≤b≤2．
则b的取值范围[

3

2

，2]．

点评：对于已知函数单调性，求参数范围问题的常见解法；设函数f（x）在（a，b）上可导，若f（x）在（a，b）上是增函数，则可得f′（x）≥0，从而建立了关于待求参数的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是减函数，则可得f′（x）≤0．