Question

数列{a_n}是以a为首项，q为公比的等比数列．令b_n=1-a₁-a₂-…-a_n，c_n=2-b₁-b₂-…-b_n，n∈N^*．
（1）试用a、q表示b_n和c_n；
（2）若a＜0，q＞0且q≠1，试比较c_n与c_n+1的大小；
（3）是否存在实数对（a，q），其中q≠1，使{c_n}成等比数列．若存在，求出实数对（a，q）和{c_n}；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分两种情况考虑，当q=1时，得到数列{a_n}每一项都为a，代入b_n=1-a₁-a₂-…-a_n中，得到b_n，列举出b_n的各项，代入c_n=2-b₁-b₂-…-b_n中，利用等差数列的前n项和公式化简后，得到c_n；当q不等于1时，利用等比数列的前n项和公式表示出数列{a_n}的前n项和，代入b_n=1-a₁-a₂-…-a_n中，得到b_n，列举出b_n的各项，代入c_n=2-b₁-b₂-…-b_n中，利用等比数列的前n项和公式化简后，得到c_n，综上，分别写出b_n和c_n的通项即可；
（2）根据q不等于1，由（1）求出的通项找出c_n与c_n+1，利用做差法比较大小，方法是表示出c_n+1-c_n，化简后根据已知的条件，判断其差的正负，即可得到c_n与c_n+1的大小关系；
（3）存在．根据q不等于1和0，由（1）找出数列{c_n}的通项，因为{c_n}成等比数列，所以得到此数列为常数列或常数项和n项的系数为0，列出关于a与q的方程，求出方程的解即可得到a与q的值，经过检验得到满足题意的a与q的值．
解答：解：（1）当q=1时，b_n=1-（a₁+a₂+…+a_n）=1-na，，
当q≠1时，
=
=
所以，
c_n=；（4分）
（2）因为，
所以
当q＞1时，1-q＜0，1-qⁿ⁺¹＜0；
当0＜q＜1时，1-q＞0，1-qⁿ⁺¹＞0，
所以当a＜0，q＞0且q≠1时，c_n+1-c_n＜0，即c_n+1＜c_n；（5分）
（3）因为q≠1，q≠0，
所以，
因为{c_n}为等比数列，则或，
所以或（舍去），所以．（5分）
点评：此题考查学生灵活运用等差、等比数列的前n项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，会利用做差法比较两式子的大小，是一道中档题．学生在利用等比数列的前n项和公式时注意公比q不为1．