Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+θ），其中A＞0，ω＞0，0＜θ＜π，x∈R，f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为

π

2

，且当x=-

π

3

时f（x）取得最小值-1．
（1）求f（x）的解析式及f（x）的单调递增区间；
（2）已知函数g（x）=sinx，
①函数y=f（x）的图象可由y=g（x）的图象经过怎样的变换得到？
②请直接写出F(x)=

sinx

x

的三个性质，不必证明．

Answer 1

分析：（1）利用函数的对称中心的距离得到函数的周期，通过x=-

π

3

时f（x）取得最小值-1，求出A，求出θ，即可得到f（x）的解析式通过正弦函数的单调增区间求解f（x）的单调递增区间；
（2）①函数y=f（x）的图象可由y=g（x）的图象经过左加右减的平移变换以及伸缩变换得到函数的解析式．
 ②请直接写出F(x)=

sinx

x

的三个性质，例如函数的奇偶性，周期性，最值，单调性．

解答：解：（1）由已知f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为

π

2

，得

T

2

=

π

2

，

T

2

=

π

2

，T=π，又T=

2π

|ω|

，ω＞0，∴ω=2…（1分）
由当x=-

π

3

时f（x）取得最小值-1，
∵A＞0，x∈R，得A=1，sin(-2×

π

3

+θ)=-1，
∵0＜θ＜π，∴θ=

π

6

（3分）∴f(x)=sin(2x+

π

6

)．由

2kπ- π 2 ≤2x+ π 6 ≤2kπ+ π 2 (k∈Z)， ∴[kπ- π 3 ，kπ+ π 6 ](k∈Z)

∴f（x）的单调递增区间[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)…（6分）
（2）①函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象向左平移

π

6

个单位后，
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍，纵坐标不变而得到．  …（9分）
或函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍，纵坐标不变后，
再将得到的图象上向左平移

π

12

个单位而得到．  …（9分）
 ②如F(x)=

sinx

x

的性质有：
定义域上的偶函数，不是周期函数，在（0，π]上单调递增，
在（0，π]无最小值，最大值为0，等等．
…（12分）   （写出一个性质得1分）

点评：本题考查函数的解析式的求法，三角函数图象的平移变换与伸缩变换，正弦函数的基本性质，考查基本知识的应用．