Question

数列{a_n}满足S_n=2n-a_n，n∈N⁺．（S_n为前n项和）
（1）计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想a_n；（2）用数学归纳法证明（1）中的结论．

Answer 1

分析：（1）由题意S_n=2S_n=2n-a_n，令n=1因为s₁=a₁，可求出a₁的值，再反复代入S_n=2n-a_n，分别求出a₂，a₃，a₄，总结出规律；
（2）根据（1）的猜想，利用归纳法进行证明，假设n=k成立，然后利用已知条件验证n=k+1是否成立，从而求证．

解答：解：（1）a₁=s₁=2-a₁，∴a₁=1，
s₂=a₁+a₂=2×2-a₂，
∴a₂=

3

2

，s₃=a₁+a₂+a₃=2×3-a₃，
∴a₃=

7

4

，
s₄-s₃=a₄，
∴2×4-a₄-a₃=a₄，a₄=

15

8

，
猜想a_n=2-

1

2n-1

（n∈N⁺）．
（2）证明：①当n=1时，a₁=2-

1

21-1

=1-1=1，猜想结论成立．
②假设当n=k（k≥1）时结论成立，即a_k=2-

1

2k-1

．
当n=k+1时a_k+1=s_k+1-s_k=2（k+1）-a_k+1-2k+a_k，
2a_k+1=2+a_k，a_k+1=1+

ak

2

=1+1-

1

2k

=2-

1

2(k+1)-1

．
所以当n=k+1时，猜想结论成立．
由（1）和（2）可知，对一切n（n∈N⁺）结论成立．

点评：此题主要考查数列的递推公式和利用数学归纳法进行证明，归纳法是高考中常考的方法，几乎每年都考，对此学生要引起注意，多加练习．