Question

以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  3

  2

• C、

  2

  2

  或

  2

  -1
• D、

  2

  2

  或

  3

  -1

Answer 1

分析：分别以直角边和斜边为x轴，以直角边或斜边的垂直平分线为y轴，建立坐标系，再由题设条件求出椭圆方程，从而得到椭圆的离心率．

解答：解：在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，
若设BC=2，以BC为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立坐标系，
可知椭圆的焦点坐标是B（1，0），C（-1，0），且过点（1，2），
设椭圆方程是

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，把（1，2）代入得

1

a2

+

4

a2-1

=1，解得a2=3+2

2

或a2=3-2

2

（舍去）
∴a=

2

+1或a=-

2

-1（舍去）
若设AC=2，以AC为x轴，以AC的垂直平分线为y轴建立坐标系，
可知椭圆的焦点坐标是C（1，0），A（-1，0），且过点（0，1），则c=1，b=1a=

2

，∴e=

2

2

．
故选C．

点评：本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要恰当地建立坐标系．