Question

设函数
(1)若是函数的极值点，和是函数的两个不同零点，且，求；
(2)若对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）;（2） 

试题分析：（1）根据极值的定义,对函数求导，利用导数为求出对应的值为极值点,可得到一个关于的等式，又由函数零点的定义，可得,这样就可解得的值;（2）由题中所给任意，可设出关于的函数，又由得的最大值，根据要求，使得成立，可将问题转化为在上有解，结合函数特点可求导数，由导数与的大小关系，可想到对与的大小关系进行分类讨论，利用函数的最值与的大小关系，从而得到的取值范围．
试题解析：解（1），∵是函数的极值点，∴.∵1是函数的零点，得，
由解得.          4分
∴,，
，所以，故．    8分
（2）令，，则为关于的一次函数且为增函数，根据题意，对任意，都存在，使得成立，则在有解，
令，只需存在使得即可，
由于=，
令，，
∴在(1，e)上单调递增，，            10分
①当，即时，，即，在(1，e)上单调递增，∴，不符合题意.             12分
②当，即时，，
若，则，所以在(1，e)上恒成立，即恒成立，∴在(1，e)上单调递减,
∴存在，使得，符合题意.             14分
若，则，∴在(1，e)上一定存在实数m，使得，∴在(1，m)上恒成立，即恒成立， 在(1，m)上单调递减,∴存在，使得，符合题意.
综上所述，当时，对任意，都存在，使得成立.   16分