题目内容
已知点F是抛物线C:的焦点,S是抛物线C在第一象限内的点,且|SF|=
.
(Ⅰ)求点S的坐标;
(Ⅱ)以S为圆心的动圆与轴分别交于两点A、B,延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点;
①判断直线MN的斜率是否为定值,并说明理由;
②延长NM交轴于点E,若|EM|=
|NE|,求cos∠MSN的值.
【答案】
(Ⅰ);(Ⅱ)①详见解析,②
【解析】
试题分析:(1)由抛物线定义等于点
到准线
的距离,可求点
的横坐标,代入抛物线方程求点
的纵坐标;(2)由已知直线
斜率互为相反数,可设其中一条
斜率为
,写出直线方程并与抛物线联立之得关于
的二次方程(其中有一根为1),或
的一元二次方程(其中有一根为1),再利用韦达定理并结合直线方程,求出点
的坐标,然后用
代替
得点
的坐标,代入斜率公式看是否定值即可;(3)依题意
,利用向量式得三点坐标间的关系,从而求
,进而可求直线
的方程,再确定
两点坐标,在
中利用余弦定理求
.
试题解析:(1)设(
>0),由已知得F
,则|SF|=
,∴
=1,∴点S的坐标是(1,1);
(2)①设直线SA的方程为
由得
∴
,∴
.
由已知SA=SB,∴直线SB的斜率为,∴
∴
②设E(t,0),∵|EM|=|NE|,∴
,
∴
,则
∴
∴直线SA的方程为
,则
,同理
,∴
考点:1、抛物线定义;2、韦达定理;3、余弦定理.

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