题目内容

三棱柱ABC-A1B1C1底面是等边三角形,顶点A1在底面的射影为点B,且△ABA1是一个等腰直角三角形,则异面直线AB与B1C所成的角大小为(  )
A、
π
4
B、arccos
3
4
C、arccos
2
5
5
D、
π
3
分析:建立坐标系,写出各点的坐标,求出
AB
, 
B1C
的坐标,利用向量的数量积公式求出
AB
B1C
的夹角余弦,取其绝对值即为异面直线AB与B1C所成的角的余弦.
解答:解:取AC的中点D,以BD为x轴,以BA1为z轴,过B平行于AC的直线为y轴建立坐标系,设底面的边长为1,则侧棱长为
2

A(
3
2
,-
1
2
,0
),B(0,0,0),C(
3
2
1
2
,0
),B1(-
3
2
1
2
,1)

AB
=(-
3
2
1
2
,0)
B1C
=(
3
,0,-1)

AB
B1C
=-
3
2

|
AB
|=1,|
B1C
|=2

cos<
AB
B1C
>=
AB
B1C
|
AB
|=1|
B1C
|
=-
3
4

设异面直线AB与B1C所成的角为θ
cosθ=
3
4

θ=arccos
3
4

故选B
点评:解决立体几何中的点、线、面的位置关系及度量关系常借助的工具是空间向量.
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