Question

四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，E，F分别为AC和PB上的点，它的直观图，正视图，侧视图．如图所示，

（1）求EF与平面ABCD所成角的大小；
（2）求二面角B-PA-C的大小；
（3）求三棱锥C-BEF的体积．

Answer 1

分析：先由正视图及侧视图可得，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4正方形，侧棱PA=4，且PA⊥平面ABCD
（1）由E，F为AC，PB的中点考虑取AB得中点M，则由已知可得MF⊥平面ABCD，则∠FEM即为直线EF与平面ABCD所成的角，在Rt△FEM中求解即可
（2）由已知条件可得，PA⊥AB，PA⊥AC可得∠BAC二面角B-PA-C的平面角
（3）由（1）知点F到平面BEC的距离为MF=2
由题意可得，利用换顶点求解V_C-BEF=V_F-BEC

解答：解：由正视图及侧视图的可知，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4正方形，侧棱PA=4，且PA⊥平面ABCD
（1）取AB得中点M，连接ME，MF
则可得MF∥PA，由PA⊥平面ABCD可得MF⊥平面ABCD
∴∠FEM即为直线EF与平面ABCD所成的角
在Rt△FEM中，FM=2，ME=2，∴∠FEM=45°
EF与平面ABCD所成角为45°
（2）由已知条件可得，PA⊥AB，PA⊥AC
∴∠BAC二面角B-PA-C的平面角
∵∠BAC=45°∴二面角B-PA-C的平面角的大小为45°
（3）由（1）知点F到平面BEC的距离为MF=2
由题意可得，V_C-BEF=V_F-BEC=

1

3

S△BEC•FM=

1

3

×

1

2

×4×2×2=

8

3

点评：本题主要考查了直线与平面所成的角及二面角的平面角的求解，其关键是要由三视图中的数据还原直观图的数据，而换顶点求解锥体的体积及求解点到直线的距离是高考的一个热点．