题目内容
(2011•绵阳一模)现有若干枚形状完全相同的硬币,已知其中一枚略重,其余各枚重量均相同,要求使用天平(不用砝码),将略重的那枚硬币找出来.小王的方案是:首先任取两枚放在天平两侧进行称量,若天平不平衡,则重的那边为略重的那枚硬币:若天干平衡,将两枚都取下,从剩下的硬币中再任取两枚放在天平两侧进行称量,如此进行下去,直到找到那枚略重的硬币为止.若小王恰好在第一次就找出略重的那枚硬币的概率为
.
(I )请问共有多少枚硬币?
(II)设ξ为找到略重那枚硬币时己称量的次数,求ξ的分布列和数学期望.
2 | 9 |
(I )请问共有多少枚硬币?
(II)设ξ为找到略重那枚硬币时己称量的次数,求ξ的分布列和数学期望.
分析:(I)根据小王恰好在第一次就找出略重的那枚硬币的概率为
建立等式,解之即可;
(II)ξ的取值为1,2,3,4,然后根据等可能事件的概率公式分别求出相应的概率,列出分布列,最后利用数学期望公式解之即可.
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9 |
(II)ξ的取值为1,2,3,4,然后根据等可能事件的概率公式分别求出相应的概率,列出分布列,最后利用数学期望公式解之即可.
解答:解:(Ⅰ)设共有n枚硬币,根据题意得
P1=
=
,解得n=9.…(2分)
(Ⅱ)ξ=1,2,3,4,
P(ξ=1)=
=
,P(ξ=2)=
•
=
,P(ξ=3)=
•
•
=
P(ξ=4)=
•
•
•1=
.…(10分)
∴ξ的分布列为
∴Eξ=1×
+2×
+3×
+4×
=
.…(12分)
P1=
| ||
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2 |
9 |
(Ⅱ)ξ=1,2,3,4,
P(ξ=1)=
| ||
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2 |
9 |
| ||
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| ||
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2 |
9 |
| ||
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| ||
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| ||
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2 |
9 |
P(ξ=4)=
| ||
|
| ||
|
| ||
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3 |
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∴ξ的分布列为
ξ | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||||||
P |
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2 |
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2 |
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3 |
9 |
8 |
3 |
点评:本题主要考查了离散型随机变量及其分布列和数学期望,以及等可能事件的概率,同时考查了计算能力,属于中档题.

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