Question

已知函数f(x)＝x³－ax²＋bx＋c的图象为曲线E．

(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3时取得极值，求a、b的值；

(2)若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a、b满足的关系式；

(3)在(1)的条件下，当x∈[－2，6]时，f(x)＜2|c|恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)(x)＝3x2－2ax＋b， 　　∵f(x)在x＝－1，3时存在极值， 　　∴－1、3是方程3x2－2ax＋b＝0的两实数根． 　　∴　∴ 　　(2)∵曲线E上存在与x轴平行的切线， 　　∴(x)＝0有实数解，即3x2－2ax＋b＝0有实数解． 　　∴Δ＝(－2a)2－12b≥0． 　　∴a、b的关系式为a2≥3b． 　　(3)f(x)＝x3－3x2－9x＋c， 　　当x变化时，(x)，f(x)变化情况如下表 　　x∈[－2，6]时，f(x)的最大值为c＋54， 　　要使f(x)＜2|c|恒成立，只需c＋54＜2|c|， 　　c≥0时，c＋54＜2c， 　　∴c＞54；c＜0时，c＋54＜－2c． 　　∴c＜－18． 　　∴c的范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)．