Question

20．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin2x+2，cosx），$\overrightarrow{n}$=（1，2cosx），设函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）求f（x）的最小正周期与[0，2π]上函数的单调递减区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若A=$\frac{π}{3}$，b=1，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用化简可求f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3，由周期公式可求T，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得f（x）的在[0，2π]上函数的单调递减区间．
（2）利用三角形面积公式可求c，根据余弦定理即可求得a的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin2x+2，cosx），$\overrightarrow{n}$=（1，2cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}sin2x+2+2co{s}^{2}x$=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+3$=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3．
∴T=$\frac{2π}{2}=π$，
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：k$π+\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴f（x）的在[0，2π]上函数的单调递减区间为：[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，[$\frac{7π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]…6分
（2）∵b=1，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得c=2，
∴a²=b²+c²-2bccosA=4+1-2×$2×1×\frac{1}{2}$=3，
∴解得：a=$\sqrt{3}$…12分

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，三角形面积公式，余弦定理的应用，属于基本知识的考查．