Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若经过点M（2，m）可以作出曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）欲确定函数的表达式，先求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由函数图象过点（1，-2）及斜率列出方程求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；
（II）先设切点为（x₀，y₀），根据导数的几何是切线的斜率，列出关于（x₀，的一个方程，然后根据此方程必须有三个不同的实数解，结合相应函数有三个不同的零点，最后利用函数的极值点列出不等关系即可求实数m的取值范围．

解答：解：（I）f'（x）=3ax²+2bx-3．（2分）
根据题意，得

f(1)=-2 f′(1)=0

即

a+b-3=-2 3a+2b-3=0

解得

a=1 b=0

所以f（x）=x³-3x．（4分）
（II）设切点为（x₀，y₀），则y₀=x₀³-3x₀，f'（x₀）=3x₀²-3，切线的斜率为3x₀²-3
则3x₀²-3=

x 3 0 -3x0-m

x0-2

，即2x₀³-6x₀²+6+m=0．（6分）
∵过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴方程2x₀³-6x₀²+6+m=0有三个不同的实数解，（8分）
∴函数g（x）=2x³-6x²+6+m有三个不同的零点，
∴g（x）的极大值为正、极小值为负（10分）
则g'（x）=6x²-12x．令g'（x）=0，则x=0或x=2，列表：

由

6+m＞0 -2+m＜0

，解得实数m的取值范围是-6＜m＜2．（12分）

点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的极值、函数的零点、直线的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．