Question

9．设数列{a_n}满足a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}（0≤{a}_{n}≤\frac{1}{2}）}\\{2{a}_{n}-1（\frac{1}{2}＜{a}_{n}≤1）}\end{array}\right.$，若a₁=$\frac{4}{7}$，则a₂₀₁₅=$\frac{1}{7}$．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}（0≤{a}_{n}≤\frac{1}{2}）}\\{2{a}_{n}-1（\frac{1}{2}＜{a}_{n}≤1）}\end{array}\right.$，可得a₁=$\frac{4}{7}$，a₂=$\frac{1}{7}$，a₃=$\frac{2}{7}$，a₄=$\frac{4}{7}$．…，a_n+3=a_n．即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}（0≤{a}_{n}≤\frac{1}{2}）}\\{2{a}_{n}-1（\frac{1}{2}＜{a}_{n}≤1）}\end{array}\right.$，
∵a₁=$\frac{4}{7}$，∴a₂=2a₁-1=$\frac{1}{7}$，a₃=2a₂=$\frac{2}{7}$，a₄=2a₄=$\frac{4}{7}$．…，各项值成周期为3重复出现
∴a_n+3=a_n．
则a₂₀₁₅=a_3×671+2=$\frac{1}{7}$．
故答案为：$\frac{1}{7}$．

点评 本题考查了数列的周期性、分段函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．