题目内容

已知
m
=(sinx+cosx,
3
cosx)
n
=(cosx-sinx,2sinx)
,函数f(x)=
m
n

(Ⅰ)求x∈[-
π
6
π
3
]
时,函数f(x)的取值范围;
(Ⅱ)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C、的对边,且a=
3
,b+c=3,f(A)=1,求△ABC的面积.
分析:(Ⅰ)利用平面向量数量积的运算法则计算
m
n
即可得到f(x)的解析式,然后由x的范围,求出2x+
π
6
的范围,根据正弦函数的图象即可得到f(x)的取值范围;
(Ⅱ)把x=A代入f(x)的解析式中得到f(A)的值,并让其值等于1得到正弦函数的值为
1
2
,根据A的范围求出2A+
π
6
的范围,再利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数,然后利用余弦定理化简得到一个关于b与c的关系式,根据b+c=3,两者联立即可求出b和c的值,然后利用三角形的面积公式,由bc的值及sinA的值即可求出△ABC的面积.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=2sin(2x+
π
6
)

x∈[-
π
6
π
3
]

得到2x+
π
6
∈[-
π
6
6
]

所以f(x)∈[-1,2];
(Ⅱ)由f(x)=2sin(2x+
π
6
)

∵f(A)=1,2sin(2A+
π
6
)=1
,∴sin(2A+
π
6
)=
1
2

∵0<A<π,∴
π
6
<2A+
π
6
13π
6
,∴2A+
π
6
=
6
?A=
π
3

由余弦定理知cosA=
b2+c2-a2
2bc
,∴b2+c2-bc=3
又b+c=3,
联立解得
b=2
c=1
b=1
c=2

S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
2
点评:此题考查学生掌握正弦函数的图象及值域,灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值,灵活运用三角形的面积公式化简求值,是一道综合题.
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