题目内容

已知双曲线的两个焦点为F₁（- $数学公式$ ，0）、F₂（ $数学公式$ ，0），M是此双曲线上的一点，且满足 $数学公式$ • $数学公式$ =0，| $数学公式$ |•| $数学公式$ |=2，则该双曲线的方程是

A.
$数学公式$ -y²=1
B.
x²- $数学公式$ =1
C.
$数学公式$ - $数学公式$ =1
D.
$数学公式$ - $数学公式$ =1

A
分析：由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，知MF₁⊥MF₂，所以（|MF₁|-|MF₂|）²=|MF₁|²-2|MF₁|•|MF₂|+|MF₂|²=40-2×2=36，由此得到a=3，进而得到该双曲线的方程．
解答：∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，∴ $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，∴MF₁⊥MF₂，
∴|MF₁|²+|MF₂|²=40，
∴（|MF₁|-|MF₂|）²=|MF₁|²-2|MF₁|•|MF₂|+|MF₂|²=40-2×2=36，
∴||MF₁|-|MF₂||=6=2a，a=3，
又c= $\text{[math]}$ ，∴b²=c²-a²=1，
∴双曲线方程为 $\text{[math]}$ -y²=1．
故选A．
点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意向量的合理运用．

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