题目内容
已知方程x2+y2-2mx-4y+5m=0的曲线是圆C(1)求m的取值范围;
(2)当m=-2时,求圆C截直线l:2x-y+1=0所得弦长;
(3)若圆C与直线2x-y+1=0相交于M,N两点,且以MN为直径的圆过坐标原点O,求m的值?
【答案】分析:(1)圆的方程化为标准形式,利用右侧大于0,即可求m的取值范围;
(2)当m=-2时,通过弦心距,半径,半弦长满足勾股定理,求圆C截直线l:2x-y+1=0所得弦长;
( 3)若圆C与直线2x-y+1=0相交于M,N两点,且以MN为直径的圆过坐标原点O,得到
,设M(x1,y1),N(x2,y2),推出x1x2+y1y2=0,联立
,推出x1x2+y1y2=5x1x2+2(x1+x2)+1=0,求m的值?
解答:解(1)方程x2+y2-2mx-4y+5m=0化为:(x-m)2+(y-2)2=m2-5m+4m2-5m+4
方程表示圆的方程,所以m2-5m+4m2-5m+4>0
解得:m<1或m>4;
(2)设m=-2,圆心为C(-2,2),半径R=3
,
圆心到直线的距离为
,
圆C截直线l:2x-y+1=0所得弦长为:
;
(3)以MN为直径的圆过坐标原点O,
即OM⊥ON
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2+y1y2=0
由
整理得 5x2-(2m+4)x+5m-3=0,
,
x1x2+y1y2=5x1x2+2(x1+x2)+1=0,


经检验,此时△=(2m+4)2-20(5m-3)>0
∴
点评:本题考查直线与圆的位置故选,圆的方程的判断,考查函数与方程的思想,转化思想.设而不求的解题方法,考查计算能力.
(2)当m=-2时,通过弦心距,半径,半弦长满足勾股定理,求圆C截直线l:2x-y+1=0所得弦长;
( 3)若圆C与直线2x-y+1=0相交于M,N两点,且以MN为直径的圆过坐标原点O,得到


解答:解(1)方程x2+y2-2mx-4y+5m=0化为:(x-m)2+(y-2)2=m2-5m+4m2-5m+4
方程表示圆的方程,所以m2-5m+4m2-5m+4>0
解得:m<1或m>4;
(2)设m=-2,圆心为C(-2,2),半径R=3

圆心到直线的距离为

圆C截直线l:2x-y+1=0所得弦长为:

(3)以MN为直径的圆过坐标原点O,
即OM⊥ON
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2+y1y2=0
由

整理得 5x2-(2m+4)x+5m-3=0,

x1x2+y1y2=5x1x2+2(x1+x2)+1=0,


经检验,此时△=(2m+4)2-20(5m-3)>0
∴

点评:本题考查直线与圆的位置故选,圆的方程的判断,考查函数与方程的思想,转化思想.设而不求的解题方法,考查计算能力.

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