题目内容

已知函数f（x）=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|，则当x=________时，f（x）取得最小值．

$\text{[math]}$
分析：本题中的函数是一个绝对值函数，可以利用绝对值不等式的性质|x-a|+|x-b|≥|a-b|求最值，为达到消去变量的目的，可将函数变形为f（x）═|x-1|+|x- $\text{[math]}$ |+|x- $\text{[math]}$ |+|x- $\text{[math]}$ |+|x- $\text{[math]}$ |+|x- $\text{[math]}$ |+…+|x- $\text{[math]}$ |，共有5050个绝对值相加，利用性质配对求最值即可．
解答：f（x）=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|
=|x-1|+2|x- $\text{[math]}$ |+3|x- $\text{[math]}$ |+…+100|x- $\text{[math]}$ |
=|x-1|+|x- $\text{[math]}$ |+|x- $\text{[math]}$ |+|x- $\text{[math]}$ |+|x- $\text{[math]}$ |+|x- $\text{[math]}$ |+…+|x- $\text{[math]}$ |
共有（1+100）×100× $\text{[math]}$ =5050项
又|x-a|+|x-b|≥|a-b|
（注：|x-a|为x到a的距离…
|x-a|+|x-b|即为x到a的距离加上x到b的距离，
当x在a，b之间时，|x-a|+|x-b|最小且值为a到b的距离）
所以f（x）的5050项前后对应每两项相加，使用公式|x-a|+|x-b|≥|a-b|
f（x）≥（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+…当x在每一对a，b之间时，等号成立
由于70×（1+70）× $\text{[math]}$ =2485
71×（71+1）× $\text{[math]}$ =2556
所以f（x）最中间的两项（第2525，2526项）是|x- $\text{[math]}$ |
所以f（x）≥（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
当x= $\text{[math]}$ 时等号成立
则当x= $\text{[math]}$ 时f（x）取得最小值
点评：本题考查函数求最值的应用，由于本题是一个项数很多的绝对值函数求最值，所可以借助的工具只有绝对值的性质，消去变量，判断出最小值，为此将函数解析式变形为可以利用绝对值的性质是求解本题的关键，本题考查了判断推理能力，综合运用知识变形的能力，本题解题的难点有二，一是利用绝对值不等式的性质进行变形，一是根据变形后的形式判断出最值取到的位置，本题处理数据较难，需要较高的数学素养