Question

在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，-

3

)，(0，

3

)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点(0，

3

)作两条互相垂直的直线l₁、l₂分别与曲线C交于A、B和C、D，以线段AB为直径的圆过能否过坐标原点，若能，求直线AB的斜率，若不能说明理由．

Answer 1

（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，-

3

)，(0，

3

)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b=

22-( 3 )2

=1，故曲线C的方程为x2+

y2

4

=1．
（2）设直线l1：y=kx+

3

，分别交曲线C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足

x2+ y2 4 =1 y=kx+ 3 .

消去y并整理得(k2+4)x2+2

3

kx-1=0，
故x1+x2=-

2 3 k

k2+4

，x1x2=-

1

k2+4

．
以线段AB为直径的圆过能否过坐标原点，则

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y1y2=k2x1x2+

3

k(x1+x2)+3，
于是x1x2+y1y2=-

1

k2+4

-

k2

k2+4

-

6k2

k2+4

+3=0，化简得-4k²+11=0，所以k=±

11

2