Question

3．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃+a₄=16，S₇=63．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{$\frac{{a}_{1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为T_n，求证：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用等差数列性质列出方程组求出首项与公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由$\frac{{a}_{1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，利用裂项求和法能证明T_n＜$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃+a₄=16，S₇=63，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d+{a}_{1}+3d=16}\\{7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=63}\end{array}\right.$，
解得${a}_{{1}_{\;}}$=3，d=2，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1．
（2）∵$\frac{{a}_{1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{3}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴数列{$\frac{{a}_{1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和：
T_n=$\frac{3}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{3}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{3}{4n+6}$$＜\frac{1}{2}$，
∴T_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和小于$\frac{1}{2}$的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．