设.函数.(1)若.求曲线在点处的切线方程,(2)若无零点.求实数的取值范围,(3)若有两个相异零点..求证:. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

设，函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若无零点，求实数的取值范围；
（3）若有两个相异零点、，求证：.

（1）切线方程为；（2）实数的取值范围是；（3）详见解析.

解析试题分析：（1）将代入函数的解析式，利用导函数的几何意义，结合直线的点斜式求出切线的方程；（2）先求出函数的导数，对的符号进行分类讨论，结合零点存在定理判断函数在定义域上是否有零点，从而求出参数的取值范围；另外一中方法是将问题等价转化为“直线与曲线无公共点”，结合导数研究函数的基本性质，然后利用图象即可确定实数的取值范围；（3）从所证的不等式出发，利用分析法最终将问题等价转换为证明不等式在区间上恒成立，并构造新函数，利用导数结合函数的单调性与最值来进行证明.
试题解析：在区间上，，
（1）当时，，则切线方程为，即；
（2）①当时，有唯一零点；
②当时，则，是区间上的增函数，
，，
，即函数在区间有唯一零点；
③当时，令得，
在区间上，，函数是增函数，
在区间上，，函数是减函数，
故在区间上，的极大值为，
由，即，解得，故所求实数的取值范围是；
另解：无零点方程在上无实根直线与曲线无公共点，
令，则，令，解得，列表如下：

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已知，.
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已知函数，．
（Ⅰ）设（其中是的导函数），求的最大值；
（Ⅱ）求证:当时，有；
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已知函数，
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（2）证明：.

已知函数，；
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数在[1,2]上是减函数，求实数的取值范围；
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设函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若当时，求的取值范围

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（Ⅰ）求函数的解析式及的取值范围；
（Ⅱ）求函数的最大值.

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（1）求，的值；
（2）证明：．

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