题目内容

对于定义域为G的函数f（x），如果同时满足下列两个条件：①f（x）在G内是单调函数；②存在区间[a，b]⊆G，使f（x）在[a，b]上的值域亦为[a，b]，那么就称f（x）为好函数．
（Ⅰ）判断函数f（x）= $数学公式$ +1在（0，+∞）上是否为好函数？并说明理由；
（Ⅱ）求好函数f（x）=-x³+1符合条件的一个区间[a，b]；
（Ⅲ）若函数f（x）=m+ $数学公式$ 是好函数，求实数m的取值范围．

解：（Ⅰ）∵函数f（x）= $\text{[math]}$ +1
∴f′（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …
又∵f′（e）＜0，f′（1）＞0，
∴f（x）= $\text{[math]}$ +1在（0，+∞）上不是单调函数…
∴f（x）= $\text{[math]}$ +1在（0，+∞）上不是好函数 …
（Ⅱ）∵f（x）=-x³+1在[a，b]上减函数
∴f（x）的最大值为f（a），最小值为f（b）
故函数f（x）的值域为[f（b），f（a）]…
∴f（a）=b，f（b）=a
即 $\text{[math]}$ 且a＜b …
∴解得a=0，b=1，故符合条件的一个闭区间为[0，1]…
（Ⅲ）∵f（x）=m+ $\text{[math]}$ 是好函数，
∴存在区间[a，b]⊆[-2，+∞），使f（x）=m+ $\text{[math]}$ 在[a，b]上的值域亦为[a，b]…
∵f′（x）= $\text{[math]}$ ＞0恒成立
故f（x）=m+ $\text{[math]}$ 在[-2，+∞）上为增函数
∴ $\text{[math]}$
∴a，b是方程 $\text{[math]}$ 的两个相异实根，且a＜b
由 $\text{[math]}$ 得：x²-（2m+1）x+m²-2=0
故 $\text{[math]}$ 两个相异实根
令f（x）=x²-（2m+1）x+m²-2
（ⅰ）当m≤-2时，可得 $\text{[math]}$
解得：m＞ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ＜m≤-2 …

（ⅱ）当m＞-2时， $\text{[math]}$

解得 $\text{[math]}$ ＜m≤-2，不符合题意
故综上，m的取值范围为 $\text{[math]}$ ＜m≤-2 …
【注】：对（Ⅲ），若不讨论但答案对，则扣．
分析：（I）求出函数的导函数，由f′（e）＜0，f′（1）＞0，可得f（x）= $\text{[math]}$ +1在（0，+∞）上不是单调函数，再由好函数的定义，可得结论
（Ⅱ）由f（x）=-x³+1在[a，b]上减函数，可得f（a）=b，f（b）=a，即 $\text{[math]}$ 且a＜b，解方程组求出a，b值可得符合条件的区间[a，b]；
（III）利用导数法可得f（x）=m+ $\text{[math]}$ 在[-2，+∞）上为增函数，若函数f（x）=m+ $\text{[math]}$ 是好函数，则 $\text{[math]}$ ，即a，b是方程 $\text{[math]}$ 的两个相异实根，即 $\text{[math]}$ 两个相异实根，令f（x）=x²-（2m+1）x+m²-2，分m≤-2时，和m＞-2时两种情况讨论m的取值范围，最后综合讨论结果可得答案．
点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，函数与方程的综合应用，正确理解“好函数”的定义，并能根据定义，归纳整理解答相关问题的方法和步骤是解答的关键．