Question

对于定义域为G的函数f（x），如果同时满足下列两个条件：①f（x）在G内是单调函数；②存在区间[a，b]⊆G，使f（x）在[a，b]上的值域亦为[a，b]，那么就称f（x）为好函数．
（Ⅰ）判断函数f（x）=

lnx

ex

+1在（0，+∞）上是否为好函数？并说明理由；
（Ⅱ）求好函数f（x）=-x³+1符合条件的一个区间[a，b]；
（Ⅲ）若函数f（x）=m+

x+2

是好函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求出函数的导函数，由f′（e）＜0，f′（1）＞0，可得f（x）=

lnx

ex

+1在（0，+∞）上不是单调函数，再由好函数的定义，可得结论
（Ⅱ）由f（x）=-x³+1在[a，b]上减函数，可得f（a）=b，f（b）=a，即

b=-a3+1 a=-b3+1

且a＜b，解方程组求出a，b值可得符合条件的区间[a，b]；
（III）利用导数法可得f（x）=m+

x+2

在[-2，+∞）上为增函数，若函数f（x）=m+

x+2

是好函数，则

a=m+ a+2 b=m+ b+2

，即a，b是方程x=m+

x+2

的两个相异实根，即

x2-(2m+1)x+m2-2=0 x≥-2 x≥m

两个相异实根，令f（x）=x²-（2m+1）x+m²-2，分m≤-2时，和m＞-2时两种情况讨论m的取值范围，最后综合讨论结果可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=

lnx

ex

+1
∴f′（x）=

ex x -ex•lnx

e2x

=

ex•( 1 x -lnx)

e2x

    …（1分）
又∵f′（e）＜0，f′（1）＞0，
∴f（x）=

lnx

ex

+1在（0，+∞）上不是单调函数…（1分）
∴f（x）=

lnx

ex

+1在（0，+∞）上不是好函数 …（1分）
（Ⅱ）∵f（x）=-x³+1在[a，b]上减函数
∴f（x）的最大值为f（a），最小值为f（b）
故函数f（x）的值域为[f（b），f（a）]…（1分）
∴f（a）=b，f（b）=a
即

b=-a3+1 a=-b3+1

且a＜b                 …（1分）
∴解得a=0，b=1，故符合条件的一个闭区间为[0，1]…（1分）
（Ⅲ）∵f（x）=m+

x+2

是好函数，
∴存在区间[a，b]⊆[-2，+∞），使f（x）=m+

x+2

在[a，b]上的值域亦为[a，b]…（1分）
∵f′（x）=

1

2 x+2

＞0恒成立
故f（x）=m+

x+2

在[-2，+∞）上为增函数
∴

a=m+ a+2 b=m+ b+2

∴a，b是方程x=m+

x+2

的两个相异实根，且a＜b
由x=m+

x+2

得：x²-（2m+1）x+m²-2=0
故

x2-(2m+1)x+m2-2=0 x≥-2 x≥m

两个相异实根
令f（x）=x²-（2m+1）x+m²-2
（ⅰ）当m≤-2时，可得

2m+1 2 ＞-2 △=(2m+1)2-4(m2-2)＞0 g(-2)=22+2(2m+1)+m2-2≥0

解得：m＞-

9

4

∴-

9

4

＜m≤-2                           …（2分）

（ⅱ）当m＞-2时，

2m+1 2 ＞m △=(2m+1)2-4(m2-2)＞0 g(m)=2=m2+m(2m+1)+m2-2≥0

解得-

9

4

＜m≤-2，不符合题意
故综上，m的取值范围为-

9

4

＜m≤-2        …（2分）
【注】：对（Ⅲ），若不讨论但答案对，则扣（2分）．

点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，函数与方程的综合应用，正确理解“好函数”的定义，并能根据定义，归纳整理解答相关问题的方法和步骤是解答的关键．