题目内容

18.将△ABC的三个内角A、B、C所对的边依次记为a、b、c,若a,$\sqrt{3}$+1是方程x2-(b+$\sqrt{3}$-1)x+$\sqrt{3}$b=b的两根,且2cos(A+B)=1.
(Ⅰ)求角C的度数;
(Ⅱ)求边c的长;
(Ⅲ)求△ABC边AB上的高CD的长.

分析 (Ⅰ)由2cos(A+B)=1,利用三角形内角和定理可得cosC=-$\frac{1}{2}$,从而可求得C=120°.
(Ⅱ)由韦达定理可得$\left\{\begin{array}{l}{a+\sqrt{3}+1=b+\sqrt{3}-1}\\{a(\sqrt{3}+1)=(\sqrt{3}-1)b}\end{array}\right.$,解得a,b,利用余弦定理即可求c的值.
(Ⅲ)由正弦定理可得:$\frac{\sqrt{3}-1}{sinA}=\frac{\sqrt{10}}{sin120°}$,解得sinA,从而可求高CD=bsinA的值.

解答 (本题满分为12分)
解:(Ⅰ)∵2cos(A+B)=1,
∴cosC=-$\frac{1}{2}$,可得C=120°…4分
(Ⅱ)∵a,$\sqrt{3}$+1是方程x2-(b+$\sqrt{3}$-1)x+$\sqrt{3}$b=b的两根,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+\sqrt{3}+1=b+\sqrt{3}-1}\\{a(\sqrt{3}+1)=(\sqrt{3}-1)b}\end{array}\right.$,解得:a=$\sqrt{3}-1$,b=$\sqrt{3}+1$,
∴由余弦定理可得:c2=a2+b2-2abcosC=10,
∴解得:c=$\sqrt{10}$…8分
(Ⅲ)由正弦定理可得:$\frac{\sqrt{3}-1}{sinA}=\frac{\sqrt{10}}{sin120°}$,解得:sinA=$\frac{\sqrt{30}(\sqrt{3}-1)}{20}$,
∴高CD=bsinA=($\sqrt{3}+1$)$\frac{\sqrt{30}(\sqrt{3}-1)}{20}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,韦达定理的应用,考查了计算能力,属于基本知识的考查.

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