Question

11．用数学归纳法证明：
$\frac{1}{{1}^{2}+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+1}$+$\frac{1}{{3}^{2}+1}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}+1}$≥$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 数学归纳法的一般步骤是，第一步验证第一项是否成立，第二步假设n=k时候结论成立，去验证n=k+1时候结论是否成立．若都成立即得证．

解答 证明：当n=1时，左边=$\frac{1}{2}$，右边=$\frac{1}{2}$结论成立；
假设n=k时，不等式成立，即：$\frac{1}{{1}^{2}+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+1}$+$\frac{1}{{3}^{2}+1}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}+1}$≥$\frac{k}{k+1}$；
当n=k+1时，左边≥$\frac{k}{k+1}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}+1}$，
下证：$\frac{k}{k+1}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}+1}$≥$\frac{k+1}{k+2}$，
作差得$\frac{k}{k+1}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}+1}$-$\frac{k+1}{k+2}$=$\frac{1}{（k+1）^{2}+1}$-$\frac{1}{{k}^{2}+3k+2}$＞0，
得结论成立，即当n=k+1时，不等式成立，根据归纳原理，不等式成立．
即得证．

点评 此题主要考查的是用数学归纳法证明不等式，属于中档题目，同学们做题的时候要注意分析题目要求切忌不能用别的方法证明．