题目内容
已知函数f(x)=log3是f(x)图象上的两点,横坐标为的点P满足2(O为坐标原点).(Ⅰ)求证:y1+y2为定值;
(Ⅱ)若,其中n∈N*,且n≥2,求Sn;
(Ⅲ)已知an=,其中n∈N*,Tn为数列{an}的前n项和,若Tn<m(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立,试求m的取值范围.
【答案】分析:(1)先用表示出,再由P是MN的中点可得到x1+x2=1,然后代入到y1+y2=f(x1)+f(x2)结合对数的运算法则即可得到y1+y2=1,得证.
(2)先由(Ⅰ)知当x1+x2=1时,y1+y2=1,然后对进行倒叙相加即可得到,再结合x1+x2=1时,y1+y2=1可得到.
(3)将(2)中的.代入到an的表达式中进行整理当n≥2时满足.,然后验证当n=1时满足,再代入到Tn中进行求值,当Tn<m(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立时可转化为恒成立,再由均值不等式可求出m的范围.
解答:解:(1)由已知可得,,
∴P是MN的中点,有x1+x2=1.
∴y1+y2=f(x1)+f(x2)
=
=
=
=
=.
(2)解:由(Ⅰ)知当x1+x2=1时,y1+y2=f(x1)+f(x1)=1
,
,
相加得
=
=n-1
∴.
(3)解:当n≥2时,
.
又当n=1时,
.
∴.
=.
由于Tn<m(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立,
∵,当且仅当n=2时,取“=”,
∴
因此.
综上可知,m的取值范围是.
点评:本题主要考查数列求和的倒叙相加法、数列的裂项法和均值不等式的应用.考查对基础知识的综合运用.
(2)先由(Ⅰ)知当x1+x2=1时,y1+y2=1,然后对进行倒叙相加即可得到,再结合x1+x2=1时,y1+y2=1可得到.
(3)将(2)中的.代入到an的表达式中进行整理当n≥2时满足.,然后验证当n=1时满足,再代入到Tn中进行求值,当Tn<m(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立时可转化为恒成立,再由均值不等式可求出m的范围.
解答:解:(1)由已知可得,,
∴P是MN的中点,有x1+x2=1.
∴y1+y2=f(x1)+f(x2)
=
=
=
=
=.
(2)解:由(Ⅰ)知当x1+x2=1时,y1+y2=f(x1)+f(x1)=1
,
,
相加得
=
=n-1
∴.
(3)解:当n≥2时,
.
又当n=1时,
.
∴.
=.
由于Tn<m(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立,
∵,当且仅当n=2时,取“=”,
∴
因此.
综上可知,m的取值范围是.
点评:本题主要考查数列求和的倒叙相加法、数列的裂项法和均值不等式的应用.考查对基础知识的综合运用.
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