题目内容

已知△ABC为正三角形，点A，B为椭圆的焦点，点C为椭圆一顶点，则该三角形的面积与椭圆的四个顶点连成的菱形的面积之比为（　　）
A．
1
2
B．
1
4
C．
3
2
D．
3
3
不妨设正三角形ABC的边长为2，以AB所在的边为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
则以A，B为椭圆的焦点，点C为椭圆一顶点的椭圆的方程为：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）．
依题意，a=2，c=1，
∴b=
22-11
=
3
，
∴椭圆的方程为：
x2
4
+
y2
3
=1，
∴椭圆的四个顶点连成的菱形的面积S=
1
2
×2a×2b=2ab=4
3
；
又S△ABC=
1
2
|AB|•|AC|•sin60°=
3
，
∴该三角形的面积与椭圆的四个顶点连成的菱形的面积之比为
3
4
3
=
1
4
．
故选B．
练习册系列答案
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若方程
x2
a2
+
y2
a+6
=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是______．
如图，已知F1，F2是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为（　　）
A．
3
2
B．
5
3
C．
6
3
D．
2
5
5
如图椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的上顶点为A，左顶点为B，F为右焦点，过F作平行与AB的直线交椭圆于C、D两点．作平行四边形OCED，E恰在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若平行四边形OCED的面积为
6
，求椭圆的方程．
已知椭圆
x2
4
+
y2
3
=1，F1F2是它的两个焦点，P是这个椭圆上任意一点，那么当|PF1|•|PF2|取最大值时，P、F1、F2三点（　　）
A．共线
B．组成一个正三角形
C．组成一个等腰直角三角形
D．组成一个锐角三角形
已知F1、F2是椭圆
x2
16
+
y2
25
=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF2的周长为______．
若椭圆
x2
16
+
y2
25
=1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离为（　　）
A．2B．4C．6D．8
已知F1，F2是椭圆
x2
16
+
y2
9
=1的两个焦点，过F2的直线交椭圆于点A，B，若|AB|=5，则|AF1|-|BF2|等于（　　）
A．3B．8C．13D．16
命题P“曲线sinα•x2+cosα•y2=1为焦点在y轴上的椭圆”，写出让命题P成立的一个充分条件______（请填写关于α的值或区间）

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