题目内容

已知△ABC为正三角形,点A,B为椭圆的焦点,点C为椭圆一顶点,则该三角形的面积与椭圆的四个顶点连成的菱形的面积之比为(  )
A.
1
2
B.
1
4
C.
3
2
D.
3
3
不妨设正三角形ABC的边长为2,以AB所在的边为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,
则以A,B为椭圆的焦点,点C为椭圆一顶点的椭圆的方程为:
x2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0).
依题意,a=2,c=1,
∴b=
22-11
=
3

∴椭圆的方程为:
x2
4
+
y2
3
=1,
∴椭圆的四个顶点连成的菱形的面积S=
1
2
×2a×2b=2ab=4
3

又S△ABC=
1
2
|AB|•|AC|•sin60°=
3

∴该三角形的面积与椭圆的四个顶点连成的菱形的面积之比为
3
4
3
=
1
4

故选B.
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