题目内容
已知△ABC为正三角形，点A，B为椭圆的焦点，点C为椭圆一顶点，则该三角形的面积与椭圆的四个顶点连成的菱形的面积之比为（ ）
A．
| B．
| C．
| D．
|
不妨设正三角形ABC的边长为2，以AB所在的边为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
则以A，B为椭圆的焦点，点C为椭圆一顶点的椭圆的方程为：
+
=1，（a＞b＞0）．
依题意，a=2，c=1，
∴b=
=
，
∴椭圆的方程为：
+
=1，
∴椭圆的四个顶点连成的菱形的面积S=
×2a×2b=2ab=4
；
又S△ABC=
|AB|•|AC|•sin60°=
，
∴该三角形的面积与椭圆的四个顶点连成的菱形的面积之比为
=
．
故选B．
则以A，B为椭圆的焦点，点C为椭圆一顶点的椭圆的方程为：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
依题意，a=2，c=1，
∴b=
| 22-11 |
| 3 |
∴椭圆的方程为：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
∴椭圆的四个顶点连成的菱形的面积S=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
又S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∴该三角形的面积与椭圆的四个顶点连成的菱形的面积之比为
| ||
4
|
| 1 |
| 4 |
故选B．
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