Question

等差数列{a_n}中，公差d不为0，且a₁，a₃，a₉恰好是某等比数列的前三项．
（1）求该等比数列的公比；
（2）这个等差数列中是否存在某一项恰好是这个等比数列的第四项，若存在，请求出是等差数列的第几项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得a₃²=a₁•a₉，从而建立关于公差d的方程，解方程可求d，进而求出等比数列的公比；
（2）确定数列的通项，即可求得结论．
解答：解：（1）∵等差数列{a_n}中，a₁，a₃，a₉恰好是某等比数列的前三项
∴a₃²=a₁•a₉，
∴（a₁+2d）²=a₁•（a₁+8d），∴d²=a₁d，
∵d≠0，∴d，=a₁，∴q==3；
（2）由（1）知a_n=a₁+（n-1）×a₁=na₁，
∵a₁•3³=27a₁，
∴等差数列中第27项恰好是这个等比数列的第四项．
点评：本题考查了等差数列及等比数列的通项公式，考查学生的计算能力，属于基础题．