Question

在（1-x）⁵（1+x+x²）⁴的展开式中，x⁷的系数为________．

Answer 1

-6
分析：先利用完全平方公式将：（1-x）⁵（1+x+x²）⁴化为（1-x）（1-x³）⁴，将已知的系数问题转化为（1-x³）⁴的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出通项，求出系数．
解答：（1-x）⁵（1+x+x²）⁴=（1-x）（1-x³）⁴
=（1-x³）⁴-x（1-x³）⁴
∴x⁷的系数为（1-x³）⁴的x⁷的系数减去（1-x³）⁴的x⁶的系数
∵（1-x³）⁴的通项为C₄^r（-x³）^r=（-1）^rC₄^rx^3r
∴（1-x³）⁴展开式不含x⁷项，x⁶的系数C₄²=6
∴（1-x）⁵（1+x+x²）⁴的展开式中，x⁷的系数为-6
故答案为：-6
点评：解决二项展开式的特定项问题，一般利用的工具是二项展开式的通项公式．