题目内容
【题目】已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有两个零点．
（1）求a的取值范围；
（2）设x1 ， x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．
【答案】
（1）
解：∵函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，
∴f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），
①若a=0，那么f（x）=0（x﹣2）ex=0x=2，
函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；
②若a＞0，那么ex+2a＞0恒成立，
当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；
当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；
此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，
由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；
当x＜1时，ex＜e，x﹣2＜﹣1＜0，
∴f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，
令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，
则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，
故函数f（x）在x＜1存在一个零点；
即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；
③若﹣ 
＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，
当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，
ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，
当x＞1时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，
由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣1]2+1}＜0得：
函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；
④若a=﹣ ，则ln（﹣2a）=1，
当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
当x＞1时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
故函数f（x）在R上单调递增，
函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；
⑤若a＜﹣ ，则ln（﹣2a）＞lne=1，
当x＜1时，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，
当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，
故当x=1时，函数取极大值，
由f（1）=﹣e＜0得：
函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；
综上所述，a的取值范围为（0，+∞）
（2）
证明：∵x1，x2是f（x）的两个零点，
∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，
∴﹣a= 
= 
，
令g（x）= 
，则g（x1）=g（x2）=﹣a，
∵g′（x）= 
，
∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）= 
= 
，
设h（m）= 
，m＞0，
则h′（m）= 
＞0恒成立，
即h（m）在（0，+∞）上为增函数，
h（m）＞h（0）=0恒成立，
即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，
令m=1﹣x1＞0，
则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）2﹣x1＞x2，
即x1+x2＜2．
【解析】利用导数研究函数的极值；函数的零点.（1）由函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（2）设x1 ， x2是f（x）的两个零点，则﹣a= = ，令g（x）= ，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）= ，
设h（m）= ，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论.本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．
【考点精析】通过灵活运用函数的极值与导数和函数的零点，掌握求函数
的极值的方法是:（1）如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值（2）如果在附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值；函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点即可以解答此题．
