题目内容
已知点F1（-1，0），F2（1，0），动点P满足|PF1|+|PF2|=2
．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若直线l：y=kx+2与轨迹C交于A、B两点，且
•
=0（其中O为坐标原点），求k的值．
| 3 |
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若直线l：y=kx+2与轨迹C交于A、B两点，且
| OA |
| OB |
分析：（1）由题意：|PF1|+|PF2|=2
＞|F1F2|，根据椭圆的定义即可求出点P的轨迹C的方程；
（2）将直线l方程与椭圆C联解消去y，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合数量积的坐标运算公式，建立关于k的方程，解之即可得到实数k的值．
| 3 |
（2）将直线l方程与椭圆C联解消去y，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合数量积的坐标运算公式，建立关于k的方程，解之即可得到实数k的值．
解答：解：（1）∵点F1（-1，0）、F2（1，0），|PF1|+|PF2|=2
＞|F1F2|，
∴点P的轨迹C是以F1、F2为焦点且长轴2a=2
的椭圆，可得a=
，b=
=
因此，点P的轨迹C的方程为
+
=1．
（2）直线l：y=kx+2与
+
=1联列，消去y得：（3k2+2）x2+12kx+6=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数关系可得
x1+x2=
，x1x2=
则y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4
=
-
+4=
∵
•
=0，
∴x1x2+y1y2=0，即
+
=0，解之得k=±
| 3 |
∴点P的轨迹C是以F1、F2为焦点且长轴2a=2
| 3 |
| 3 |
| a2-c2 |
| 2 |
因此，点P的轨迹C的方程为
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 2 |
（2）直线l：y=kx+2与
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 2 |
设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数关系可得
x1+x2=
| -12k |
| 3k2+2 |
| 6 |
| 3k2+2 |
则y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4
=
| 6k2 |
| 3k2+2 |
| 24k2 |
| 3k2+2 |
| 8-6k2 |
| 3k2+2 |
∵
| OA |
| OB |
∴x1x2+y1y2=0，即
| 6 |
| 3k2+2 |
| 8-6k2 |
| 3k2+2 |
| ||
| 3 |
点评：本题给出直线与椭圆相交于A、B两点，在A、B对原点的张角为90度时，求直线的斜率k之值．着重考查了平面向量数量积的运算、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于基础题．
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