题目内容
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，设f(x)＝x的两个实根为x1，x2.
(1)如果b＝2且|x2－x1|＝2，求a的值；
(2)如果x1<2<x2<4，设函数f(x)的对称轴为x＝x0，求证：x0>－1.
解析 (1)当b＝2时，f(x)＝ax2＋2x＋1(a>0)．
方程f(x)＝x为ax2＋x＋1＝0.
|x2－x1|＝2⇒(x2－x1)2＝4⇒(x1＋x2)2－4x1x2＝4.
由韦达定理，可知
x1＋x2＝－
，x1x2＝.
代入上式，可得4a2＋4a－1＝0.
解得a＝
，a＝(舍去)．
(2)证明：∵ax2＋(b－1)x＋1＝0(a>0)的两根满足x1<2<x2<4，
设g(x)＝ax2＋(b－1)x＋1，
∴
即
⇒
∴2a－b>0.
又∵函数f(x)的对称轴为x＝x0，
∴x0＝－
>－1.
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)(x－
)(a＜0)的最大值是________．
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＋bx＋c
、
∈R．且
[f(
＝―2．
”与“
”表示含有量词的命题“p：已知二次函数f(x)＝a(x2＋1)＋b(x＋1)，则存在实数a，b，使不等式x≤f(x)≤
(x2＋1)对任意实数x恒成立”．
＜2
且a＞0，求a、b