Question

若a＞0，b＞0，且点（a，b）在过点（1，-1），（2，-3）的直线上，则S=2

ab

-4a2-b2的最大值是

2 -1

2

．

Answer 1

分析：由点（a，b）在过点（1，-1）和（2，-3）的直线上得2a+b=1，所以S=2

ab

-4a²-b²=4ab+2

ab

-1，再令

ab

=t＞0，则S化为关于t的二次函数形式，再由二次函数的性质结合t的取值范围可得S的最大值．

解答：解：过点（1，-1），（2，-3）的直线方程为：

y+3

-1+3

=

x-2

1-2

，2x+y-1=0．
∴2a+b-1=0，即2a+b=1．
S=2

ab

-4a²-b²=4ab+2

ab

-（2a+b）²=4ab+2

ab

-1
令

ab

=t，∵a＞0，b＞0，∴2a+b=1≥2

2a•b

，∴0＜

ab

≤

2

4

，即 0＜t ≤

2

4

，
则 S=4t²+2t-1，在（0，+∞）上为增函数
故 当t=

2

4

时，S 有最大值

2 -1

2

，
故答案为：

2 -1

2

．

点评：本题考查了函数的最值及其几何意义，属于中档题．注意利用等价转换，结合基本不等式和二次函数的单调来求这个最值问题．运用换元的思想得到 S=4t²+2t-1，
是解决本题的关键．