Question

【题目】已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤ ），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（﹣ ， ）恒成立，则φ的取值范围是（ ）
A.[ ， ]
B.[ ， ]
C.[ ， ]
D.（ ， ]

Answer 1

【答案】B
【解析】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤ ）的图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，
令2sin（ωx+φ）+1=﹣1，即sin（ωx+φ）=﹣1，
即 函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，
故 T= =π，求得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）+1．
由题意可得，当x∈（﹣ ， ）时，f（x）＞1，即 sin（2x+φ）＞0，
故有﹣ +φ≥2kπ，且 +φ≤2kπ+π，求得φ≥2kπ+ ，且φ≤2kπ+ ，k∈Z，
故φ的取值范围是[2kπ+ ，2kπ+ ]，k∈Z，
结合所给的选项，
故选：B．
由题意求得sin（ωx+φ）=﹣1，函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，根据周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式．再根据当x∈（﹣ ， ）时，f（x）＞1，可得sin（2x+φ）＞0，故有﹣ +φ≥2kπ，且 +φ≤2kπ+π，由此求得φ的取值范围．