Question

【题目】已知离心率为 的椭圆 =1（a＞b＞0）的一个焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A、B两点，|AB|= ．
（1）求此椭圆的方程；
（2）已知直线y=kx+2与椭圆交于C、D两点，若以线段CD为直径的圆过点E（﹣1，0），求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设焦距为2c，

∵e= = ，a2=b2+c2，

∴ = ；

∵|AB|= ，

∴2 = ，

解得，b=1，a= ；

故椭圆的方程为 +y2=1；

（2）解：将y=kx+2代入椭圆方程，

化简可得（1+3k2）x2+12kx+9=0，

由直线与椭圆有两个交点知，

△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0，

解得，k2＞1；

设C（x1，y1），D（x2，y2）；

则x1+x2=﹣ ，x1x2= ；

若以线段CD为直径的圆过点E（﹣1，0），

则 =0，

即（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，

而y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，

则（x1+1）（x2+1）+y1y2

=（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5

=（k2+1） ﹣（2k+1） +5=0，

解得，k= ，满足k2＞1；

故k= ．

【解析】（1）设焦距为2c，结合e= = ，从而求椭圆的方程；（2）联立方程化简可得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再设C（x1 ， y1），D（x2 ， y2）；从而可得x1+x2=﹣ ，x1x2= ；从而由平面向量化简可得（k2+1） ﹣（2k+1） +5=0，从而解得．