Question

已知（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x﹣1）+a₂（x﹣1）+a₃（x﹣1）³+…+a_n（x﹣1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a₀及；
（2）试比较S_n与（n﹣2）2ⁿ+2n²的大小，并说明理由．

Answer 1

（1）S_n=3ⁿ﹣2ⁿ
（2）当n=1时，3ⁿ＞（n﹣1）2ⁿ+2n²；
当n=2，3时，3ⁿ＜（n﹣1）2ⁿ+2n²；
当n≥4，n∈N^*时，3ⁿ＞（n﹣1）2ⁿ+2n²

试题分析：（1）令x=1，则a₀=2ⁿ，令x=2，
则，∴S_n=3ⁿ﹣2ⁿ；  （3分）
（2）要比较S_n与（n﹣2）2ⁿ+2n²的大小，即比较：3ⁿ与（n﹣1）2ⁿ+2n²的大小，
当n=1时，3ⁿ＞（n﹣1）2ⁿ+2n²；当n=2，3时，3ⁿ＜（n﹣1）2ⁿ+2n²；
当n=4，5时，3ⁿ＞（n﹣1）2ⁿ+2n²；  （5分）
猜想：当n≥4时n≥4时，3ⁿ＞（n﹣1）2ⁿ+2n²，下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，n=4n=4时结论成立，
假设当n=k（k≥4）n=k，（k≥4）时结论成立，即3ⁿ＞（n﹣1）2ⁿ+2n²，
两边同乘以3 得：3^k+1＞3[（k﹣1）2^k+2k²]=k2^k+1+2（k+1）²+[（k﹣3）2^k+4k²﹣4k﹣2]
而（k﹣3）2^k+4k²﹣4k﹣2=（k﹣3）2^k+4（k²﹣k﹣2）+6=（k﹣2）2^k+4（k﹣2）（k+1）+6＞0∴3^k+1＞[（k+1）﹣1]2^k+1+2（k+1）²
即n=k+1时结论也成立，
∴当n≥4时，3ⁿ＞（n﹣1）2ⁿ+2n²成立．
综上得，当n=1时，3ⁿ＞（n﹣1）2ⁿ+2n²；
当n=2，3时，3ⁿ＜（n﹣1）2ⁿ+2n²；当n≥4，n∈N^*时，3ⁿ＞（n﹣1）2ⁿ+2n²﹣﹣（10分）
点评：本题是中档题，考查与n有关的命题，通过赋值法解答固定项，前n项和，以及数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力，计算能力，常考题型