Question

（2011•江西模拟）某品牌专卖店准备在国庆期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种不同型号的洗衣机，2种不同型号的电视机和种不同型号的空调中（不同种商品的型号不同），选出4种不同型号的商品进行促销，该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得m元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是

1

2

，设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额（单位：元）为随机变量X．
（Ⅰ）求选出的4种不同型号商品中，洗衣机、电视机、空调都至少有一种型号的概率；
（Ⅱ）请写出X的分布列，并求X的数学期望；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？

Answer 1

分析：（Ⅰ）求选出的4种不同型号商品中，洗衣机、电视机、空调都至少有一种型号包括洗衣机、电视机各一种型号，空调两种型号；洗衣机两种型号，电视机、空调各一种型号；电视机两种型号，洗衣机、空调各一种型号，从而可求概率；
（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，m，2m，3m，分别求出相应的概率，即可写出X的分布列，利用期望公式可求X的数学期望；
（Ⅲ）要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，故可建立不等式，由此可求每次中奖最低奖金．

解答：解：（Ⅰ）设选出的4种不同型号商品中，洗衣机、电视机、空调都至少有一种型号为事件A；
则  P(A)=

2 C 1 2 C 1 3 + C 1 2 C 1 2 C 2 3

C 4 7

=

24

35

（4分）
（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，m，2m，3m．
则P（X=0）=

C

0 3

×(

1

2

)0×(

1

2

)3=

1

8

，P（X=m）=

C

1 3

×(

1

2

)1×(

1

2

)2=

3

8

，
P（X=2m）=

C

2 3

×(

1

2

)2×(

1

2

)1=

3

8

，P（X=3m）=

C

3 3

×(

1

2

)3×(

1

2

)0=

1

8

   （8分）
所以，顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额K的分布列为：

X	0	m	2m	3m
P	1 8	3 8	3 8	1 8

（9分）
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的数学期望是EX=0×

1

8

+m×

3

8

+2m×

3

8

+3m×

1

8

=1.5m．      （10分）
（Ⅲ）要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，因此应有1.5m＜150，所以m＜100．
故每次中奖奖金要低于100元，才能使促销方案对商场有利．（12分）

点评：本题考查利用概率知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查数学期望的计算，确定X的所有可能的取值是解题的关键．